Можливість узагальнення і видозміни геометричних понять найлегше усвідомити на прикладі. Так, на поверхні кулі можна з'єднувати точки найкоротшими лініями — дугамивеликих кіл, можна вимірювати кути і плоощ, будувати різні фігури. Їх вивчає предмет сферичної геометрії, подібно до того, як планіметрія— геометрія на площині; геометрія на земній поверхні близька до сферичної геометрії. Закони геометрії на сферівідрізняються від законів планіметрії; наприклад, довжина кола тут не пропорційна радіусу, а зростає повільніше і досягає максимуму для екватора; сума кутів трикутника на сфері непостійна і завжди більше двох прямих. Аналогічно можна на будь-якій поверхні проводити лінії, вимірювати їхні довжини, кути між ними, визначати обмежені ними площі. Геометрія на поверхні, що будується таким чином, називається її внутрішньої геометрією (Карл Гаус, 1827). На нерівномірно вигнутій поверхні співвідношення довжин і кутів будуть різними в різних місцях, отже, вона буде геометрично неоднорідною, на відміну від площини і сфери. Можливість отримання різних геометричних співвідношень наводить на думку, що властивості реального простору можуть лише наближено описуватися звичайною геометрією. Ця ідея, вперше висловлена Миколою Лобачевським, знайшла підтвердження в загальній теорії відносності.
Стан газу, що перебуває в циліндрі під поршнем, визначається тиском і температурою. Тому сукупність усіх можливих станів газу можна представляти як двовимірний простір. «Точками» цього «простору» служать стани газу; «точки» розрізняються двома «координатами» — тиском і температурою, подібно до того як точки на площині розрізняються значеннями їхніх координат. Безперервна зміна стану зображується лінією в цьому просторі.
Далі можна уявити собі будь-яку матеріальну систему — механічну або фізико-хімічно. Сукупність усіх можливих станів цієї системи називають «фазовим простором». «Точками» цього простору є самі стани. Якщо стан системи визначається n величинами, то говорять, що система має n ступенів свободи. Ці величини відіграють роль координат точки-стану, як у прикладі з газом роль координат грали тиск і температура. Відповідно до цього такий фазовий простір системи називають n-мірним. Зміна стану зображується лінією в цьому просторі; окремі області станів, що виділяються з тими чи іншими ознаками, будуть областями фазового простору, а межі областей будуть поверхнями в цьому просторі. Якщо система має тільки два ступені свободи, то її стани можна зображувати точками на площині. Так, стан газу з тиском р і температурою Т відіб'ється точкою з координатами р і Т, а процеси, що відбуваються з газом, зобразити лініями на площині. Цей метод графічного зображення загальновідомий і постійно використовується у фізиці та техніці для наочного представлення процесів та їхніх закономірностей. Однак якщо число ступенів свободи більше 3, то просте графічне зображення (навіть у просторі) стає неможливим. Тоді, щоб зберегти корисні геометричні аналогії, вдаються до поняття про абстрактний фазовий простір. Так, наочні графічні методи переростають в це абстрактне уявлення. Метод фазових просторів широко застосовується в механіці, теоретичній фізиці та фізичній хімії. У механіці рух механічної системи зображують рухом точки в її фазовому просторі. У фізичній хімії особливо важливо розглядати форму і взаємне прилягання тих областей фазового простору системи з декількох речовин, які відповідають якісно різним станам. Поверхні, що розділяють ці області, суть поверхні переходів від однієї якості до іншої (плвлення, кристалізауія тощо). У самій геометрії також розглядають абстрактні простори, «точками» яких служать фігури; так визначають «простори» кіл, сфер, прямих тощо. У механіці та теорії відносності вводять також абстрактний чотиривимірний простір, приєднуючи до трьох просторових координатах час як четверту координату. Це означає, що події потрібно розрізняти не тільки за положенням в просторі, але і в часі.
