Геометрія в природі

Природа — досконале творіння, переконуються вчені, які помічають в будові людського тіла пропорції золотого перетину, а в голівці цвітної капусти — фрактальні фігури.

«Вивчення та спостереження природи породило науку», — писав Цицерон у першому столітті до нашої ери. У більш пізні часи з розвитком науки й віддаленням її від вивчення природи, вчені з подивом відкривають те, що було відомо ще нашим предкам, але не було підтверджене науковими методами. 

Цікаво знаходити схожі утворення в мікро-і макросвіті. Надихати може й те, що геометрію цих утворень наука може описати. Кровоносна система, річка, блискавка, гілки дерев… все це — схожі системи, що складаються з різних часточок і мають різний масштаб.

Фрактали 

Іншими загадковими фігурами, які ми можемо побачити в природі повсюдно, є фрактали. Фрактали — це фігури, складені з частин, кожна з яких подібна до цілої фігури — чи не нагадує це принцип золотого перетину?  Дерева, блискавка, бронхи і кровоносна система людини мають фрактальну форму, ідеальними природними ілюстраціями фракталів називають також папороті та капусту брокколі. «Все так складно, все так просто» влаштовано в природі, помічають люди, з повагою прислухаючись до неї.

«Природа наділила людину прагненням до виявлення істини», — писав Цицерон, словами якого хотілося б і закінчити першу частину статті про геометрію в природі.

• 

• Спіраль 

  

  Якщо побудувати прямокутник зі сторонами, співвідношення яких буде рівне пропорції «золотого перетину», і вписати в нього ще один «золотий прямокутник», в той — ще один, і так до нескінченності всередину і назовні, то за кутовими точками прямокутників можна провести спіраль. Цікаво те, що така спіраль співпадатиме зі зрізом раковини Наутилуса, а також іншими спіралями, які поширені в природі.
  

  
  

Розмірність і геологія

Множина Мандельброта показує, що фрактали природним чином виникають в динамічних системах. Саме через цей розділ математики і фізики вони потрапили в геологію. Однак перш ніж перейти до застосувань, нам потрібний один з основних інструментів фрактального аналізу - розмірність.

Розмірність в топології буває різною. Найпростіша - це так звана топологічна розмірність. Не вдаючись у деталіі, можна сказати, що топологічна розмірність точки дорівнює нулю, прямої (відрізка) - одиниці, площини (плоскої фігури, наприклад, кола) - двом, простору - трьом. Інтуїтивно зрозуміло, що розмірність, наприклад, канторової множини дорівнює нулю, кривих Коха і Пеано - одиниці і так далі.

Крім топологічної розмірності, для фракталів визначена так звана фрактальна розмірність. Уявімо, що у нас є берегова лінія, наприклад, Великобританії, і ми хочемо виміряти її протяжність. Логічно для цього використовувати лінійку - тобто ми будемо наближати складну форму берегової лінії до ламаної з однаковими ланками. При спробі реальних вимірів з'ясується, що із зменшенням лінійки довжина берегової лінії зростає, причому зростає експоненціально (правда, до певного моменту)!

Це, звичайно, дивно, але з таким ефектом ми вже зустрічалися - ламані, які ми будували для одержання кривої Коха, можна вважати наближеннями скінченного фрактала. Кожна ламана має скінченну довжину, але можна показати, що з кожним кроком ця довжина зростає експоненціально і необмежено.

Тепер уявімо, що фрактал зменшили в r разів. Скільки копій N зменшеного фрактала буде потрібно, щоб накрити первісний об'єкт? Виявляється, відповідь на це питання така ж, як і у випадку з береговою лінією, тобто пов'язаний з деякою експонентою: N приблизно дорівнює r^D. Виявляється показник D визначається однозначно і саме його називають фрактальної розмірністю об'єкта. Відповідно більш строге визначення фрактала звучить так: фрактал - це об'єкт, топологічна розмірність якого менша фрактальної (це умова носить назву нерівності Мандельброта). Для всіх розглянутих нами фракталів ця умова виконана. Наприклад, фрактальна розмірність канторової множини трохи більше 0,63, кривої Коха - більше 1,26, кривої Пеано -  точноі 2 (з цього, до речі, випливає, що досить популярне визначення фрактала як об'єкта дробової розмірності не надто зручне).

Однак, фрактальна розмірність - це математична абстракція, тому виникає питання, як її обчислювати на практиці, для реальних об'єктів? Один метод (яким і обмежимося), виявляється, вже сформульований - це метод Річардсона, використовуваний для обчислення розмірностей кривих, зокрема й берегових ліній. Для того щоб оцінити розмірність об'єкта, досить побудувати графік залежності логарифма отриманої довжини кривої від логарифма довжини лінійки. Наприклад, обчислена таким чином фрактальна розмірність земних континентів і великих островів дорівнює приблизно 1,22.

Для чого потрібна фрактальна розмірність? Виявляється, вона дозволяє виявити зовсім несподівані співвідношення в природі. Наприклад, площа континенту або великого острова S співвідноситься з його периметром за формулою S приблизно дорівнює P^2/D, де D - фрактальна розмірність. Аналогічні співвідношення існують для маси і периметра, маси і діаметра і багато інших (хоч це і не має відношення до обговорюваної теми, але можна згадати, що фрактальна розмірність натурального пуху дорівнює 1,6).