Таким чином, стає зрозумілим, як безперервні сукупності тих чи інших об'єктів, явищ, станів можуть підводитися під узагальнене поняття простору. У такому просторі можна проводити «лінії», що зображують безперервні послідовності явищ (станів), проводити «поверхні» і визначати відповідним чином «відстані» між «точками», даючи тим самим кількісне вираження фізичного поняття про ступінь відмінності відповідних явищ (станів) і таке подібне. Так за аналогією зі звичайною геометрією виникає «геометрія» абстрактного простору; вона може навіть мало бути схожа на звичайний простір, будучи, наприклад, неоднорідною за своїми географічним властивостях і скінченою, подібно нерівномірно викривленій замкнутій поверхні.
Предметом геометрії в узагальненому сенсі виявляються не тільки просторові форми і відносини, але будь-які форми і відносини, які, будучи абстрагованими від свого змісту, виявляються подібними зі звичайними просторовими формами і відносинами. Ці просторово-подібні форми дійсності називають «просторами» і «фігурами». Простір у цьому смислі є безперервна сукупність однорідних об'єктів, явищ, станів, які грають роль точок простору, причому в цій сукупності є відносини, схожі з звичайними просторовими відносинами, як, наприклад, відстань між точками, рівність фігур тощо (фігура — взагалі частина простору). Геометрія розглядає ці форми дійсності абстраговано від конкретного змісту, вивчення ж конкретних форм і відносин у зв'язку з їхнім якісно своєрідним змістом становить предмет інших наук, а геометрія служить для них методом. Прикладом може служити будь-яке застосування абстрактної геометрія, хоча б вказане вище застосування n-мірного простору в фізичної хімії. Для геометрії характерний такий підхід до об'єкта, який полягає в узагальненні та перенесенні на нові об'єкти звичайних геометричних понять і наочних уявлень. Саме це і робиться в наведених вище прикладах простору кольорів та інших. Цей геометричний підхід зовсім не є чистою умовністю, а відповідає самій природі явищ. Проте часто одні й ті самі реальні факти можна зображувати аналітично або геометрично, як одну й ту ж залежність можна задавати рівнянням або лінією на графіку.
Не слід, однак, представляти розвиток геометрії так, що вона лише реєструє й описує геометричною мові форми і відносини, котрі вже зустрілися на практиці, подібні просторовим. В дійсності геометрія визначає широкі класи нових просторів і фігур в них, виходячи з аналізу і узагальнень даних спостережної геометрії і вже сформованих геометричних теорій. При абстрактному визначенні ці простори і фігури виступають як можливі форми дійсності. Вони, отже, не є чисто умоглядними конструкціями, а повинні служити зрештою засобом дослідження й опису реальних фактів. Микола Лобачевський, створюючи свою геометрію, вважав її можливою теорією просторових відносин. Так само, як його геометрія отримала обґрунтування в смислі її логічної спроможності і застосування до явищ природи, так і всяка абстрактна геометрична теорія проходить таку ж подвійну перевірку. Для перевірки логічної спроможності істотне значення має метод побудови математичних моделей нових просторів. Проте остаточно вкорінюються в науці тільки ті абстрактні поняття, які виправдані і побудовою штучної моделі, і застосуваннями, якщо не прямо в природознавсті і техніці, то хоча б в інших математичних теоріях, через які ці поняття так чи інакше пов'язуються з дійсністю. Легкість, з якої математики і фізики оперують тепер різними «просторами», досягнута в результаті довгого розвитку геометрії в тісному зв'язку з розвитком математики в цілому та інших точних наук. Саме внаслідок цього розвитку склалася і здобув велике значення інший бік геометрії, вказаний в загальному визначенні, даному на початку статті: включення в геометрію дослідження форм і відносин, схожих з формами і відносинами в звичайному просторі.
Немає коментарів:
Дописати коментар