понеділок, 18 грудня 2017 р.
пʼятниця, 15 грудня 2017 р.
Узагальнення предмету геометрії. II
Таким чином, стає зрозумілим, як безперервні сукупності тих чи інших об'єктів, явищ, станів можуть підводитися під узагальнене поняття простору. У такому просторі можна проводити «лінії», що зображують безперервні послідовності явищ (станів), проводити «поверхні» і визначати відповідним чином «відстані» між «точками», даючи тим самим кількісне вираження фізичного поняття про ступінь відмінності відповідних явищ (станів) і таке подібне. Так за аналогією зі звичайною геометрією виникає «геометрія» абстрактного простору; вона може навіть мало бути схожа на звичайний простір, будучи, наприклад, неоднорідною за своїми географічним властивостях і скінченою, подібно нерівномірно викривленій замкнутій поверхні.
Предметом геометрії в узагальненому сенсі виявляються не тільки просторові форми і відносини, але будь-які форми і відносини, які, будучи абстрагованими від свого змісту, виявляються подібними зі звичайними просторовими формами і відносинами. Ці просторово-подібні форми дійсності називають «просторами» і «фігурами». Простір у цьому смислі є безперервна сукупність однорідних об'єктів, явищ, станів, які грають роль точок простору, причому в цій сукупності є відносини, схожі з звичайними просторовими відносинами, як, наприклад, відстань між точками, рівність фігур тощо (фігура — взагалі частина простору). Геометрія розглядає ці форми дійсності абстраговано від конкретного змісту, вивчення ж конкретних форм і відносин у зв'язку з їхнім якісно своєрідним змістом становить предмет інших наук, а геометрія служить для них методом. Прикладом може служити будь-яке застосування абстрактної геометрія, хоча б вказане вище застосування n-мірного простору в фізичної хімії. Для геометрії характерний такий підхід до об'єкта, який полягає в узагальненні та перенесенні на нові об'єкти звичайних геометричних понять і наочних уявлень. Саме це і робиться в наведених вище прикладах простору кольорів та інших. Цей геометричний підхід зовсім не є чистою умовністю, а відповідає самій природі явищ. Проте часто одні й ті самі реальні факти можна зображувати аналітично або геометрично, як одну й ту ж залежність можна задавати рівнянням або лінією на графіку.
Не слід, однак, представляти розвиток геометрії так, що вона лише реєструє й описує геометричною мові форми і відносини, котрі вже зустрілися на практиці, подібні просторовим. В дійсності геометрія визначає широкі класи нових просторів і фігур в них, виходячи з аналізу і узагальнень даних спостережної геометрії і вже сформованих геометричних теорій. При абстрактному визначенні ці простори і фігури виступають як можливі форми дійсності. Вони, отже, не є чисто умоглядними конструкціями, а повинні служити зрештою засобом дослідження й опису реальних фактів. Микола Лобачевський, створюючи свою геометрію, вважав її можливою теорією просторових відносин. Так само, як його геометрія отримала обґрунтування в смислі її логічної спроможності і застосування до явищ природи, так і всяка абстрактна геометрична теорія проходить таку ж подвійну перевірку. Для перевірки логічної спроможності істотне значення має метод побудови математичних моделей нових просторів. Проте остаточно вкорінюються в науці тільки ті абстрактні поняття, які виправдані і побудовою штучної моделі, і застосуваннями, якщо не прямо в природознавсті і техніці, то хоча б в інших математичних теоріях, через які ці поняття так чи інакше пов'язуються з дійсністю. Легкість, з якої математики і фізики оперують тепер різними «просторами», досягнута в результаті довгого розвитку геометрії в тісному зв'язку з розвитком математики в цілому та інших точних наук. Саме внаслідок цього розвитку склалася і здобув велике значення інший бік геометрії, вказаний в загальному визначенні, даному на початку статті: включення в геометрію дослідження форм і відносин, схожих з формами і відносинами в звичайному просторі.
понеділок, 11 грудня 2017 р.
Геометрія в природі
Природа — досконале творіння, переконуються вчені, які помічають в будові людського тіла пропорції золотого перетину, а в голівці цвітної капусти — фрактальні фігури.
«Вивчення та спостереження природи породило науку», — писав Цицерон у першому столітті до нашої ери. У більш пізні часи з розвитком науки й віддаленням її від вивчення природи, вчені з подивом відкривають те, що було відомо ще нашим предкам, але не було підтверджене науковими методами.
Цікаво знаходити схожі утворення в мікро-і макросвіті. Надихати може й те, що геометрію цих утворень наука може описати. Кровоносна система, річка, блискавка, гілки дерев… все це — схожі системи, що складаються з різних часточок і мають різний масштаб.
Фрактали
Іншими загадковими фігурами, які ми можемо побачити в природі повсюдно, є фрактали. Фрактали — це фігури, складені з частин, кожна з яких подібна до цілої фігури — чи не нагадує це принцип золотого перетину? Дерева, блискавка, бронхи і кровоносна система людини мають фрактальну форму, ідеальними природними ілюстраціями фракталів називають також папороті та капусту брокколі. «Все так складно, все так просто» влаштовано в природі, помічають люди, з повагою прислухаючись до неї.
«Природа наділила людину прагненням до виявлення істини», — писав Цицерон, словами якого хотілося б і закінчити першу частину статті про геометрію в природі.
Спіраль
Якщо побудувати прямокутник зі сторонами, співвідношення яких буде рівне пропорції «золотого перетину», і вписати в нього ще один «золотий прямокутник», в той — ще один, і так до нескінченності всередину і назовні, то за кутовими точками прямокутників можна провести спіраль. Цікаво те, що така спіраль співпадатиме зі зрізом раковини Наутилуса, а також іншими спіралями, які поширені в природі.
Розмірність і геологія
Множина Мандельброта показує, що фрактали природним чином виникають в динамічних системах. Саме через цей розділ математики і фізики вони потрапили в геологію. Однак перш ніж перейти до застосувань, нам потрібний один з основних інструментів фрактального аналізу - розмірність.
Розмірність в топології буває різною. Найпростіша - це так звана топологічна розмірність. Не вдаючись у деталіі, можна сказати, що топологічна розмірність точки дорівнює нулю, прямої (відрізка) - одиниці, площини (плоскої фігури, наприклад, кола) - двом, простору - трьом. Інтуїтивно зрозуміло, що розмірність, наприклад, канторової множини дорівнює нулю, кривих Коха і Пеано - одиниці і так далі.
Крім топологічної розмірності, для фракталів визначена так звана фрактальна розмірність. Уявімо, що у нас є берегова лінія, наприклад, Великобританії, і ми хочемо виміряти її протяжність. Логічно для цього використовувати лінійку - тобто ми будемо наближати складну форму берегової лінії до ламаної з однаковими ланками. При спробі реальних вимірів з'ясується, що із зменшенням лінійки довжина берегової лінії зростає, причому зростає експоненціально (правда, до певного моменту)!
Це, звичайно, дивно, але з таким ефектом ми вже зустрічалися - ламані, які ми будували для одержання кривої Коха, можна вважати наближеннями скінченного фрактала. Кожна ламана має скінченну довжину, але можна показати, що з кожним кроком ця довжина зростає експоненціально і необмежено.
Тепер уявімо, що фрактал зменшили в r разів. Скільки копій N зменшеного фрактала буде потрібно, щоб накрити первісний об'єкт? Виявляється, відповідь на це питання така ж, як і у випадку з береговою лінією, тобто пов'язаний з деякою експонентою: N приблизно дорівнює rD. Виявляється показник D визначається однозначно і саме його називають фрактальної розмірністю об'єкта. Відповідно більш строге визначення фрактала звучить так: фрактал - це об'єкт, топологічна розмірність якого менша фрактальної (це умова носить назву нерівності Мандельброта). Для всіх розглянутих нами фракталів ця умова виконана. Наприклад, фрактальна розмірність канторової множини трохи більше 0,63, кривої Коха - більше 1,26, кривої Пеано - точноі 2 (з цього, до речі, випливає, що досить популярне визначення фрактала як об'єкта дробової розмірності не надто зручне).
Однак, фрактальна розмірність - це математична абстракція, тому виникає питання, як її обчислювати на практиці, для реальних об'єктів? Один метод (яким і обмежимося), виявляється, вже сформульований - це метод Річардсона, використовуваний для обчислення розмірностей кривих, зокрема й берегових ліній. Для того щоб оцінити розмірність об'єкта, досить побудувати графік залежності логарифма отриманої довжини кривої від логарифма довжини лінійки. Наприклад, обчислена таким чином фрактальна розмірність земних континентів і великих островів дорівнює приблизно 1,22.
Для чого потрібна фрактальна розмірність? Виявляється, вона дозволяє виявити зовсім несподівані співвідношення в природі. Наприклад, площа континенту або великого острова S співвідноситься з його периметром за формулою S приблизно дорівнює P2/D, де D - фрактальна розмірність. Аналогічні співвідношення існують для маси і периметра, маси і діаметра і багато інших (хоч це і не має відношення до обговорюваної теми, але можна згадати, що фрактальна розмірність натурального пуху дорівнює 1,6).
Що таке геометрія?
Геоме́трія — розділ математики, наука про просторові форми, відносини і їхні узагальнення.
Геометрія — одна з найдавніших наук. Від початку вона була галуззю практичного знання, що розглядало довжини, площі, і об`єми.
Початкові поняття геометрії виникли в результаті відволікання від будь-яких властивостей і відносин тіл, крім взаємного розташування і величини. Перші виражаються в дотику або приляганні тіл один до одного, в тому, що одне тіло є частиною іншого, в розташуванні «між», «всередині» тощо. Інші виражаються в поняттях «більше», «менше», в понятті про рівність тіл.
Шляхом такого ж відволікання виникає поняття геометричного тіла. Геометричне тіло — абстракція, в якій зберігаються лише форма і розміри при повному абстрагуванні від усіх інших властивостей. При цьому геометрія, як властиво математиці взагалі, повністю абстрагується від невизначеності й рухливості реальних форм і розмірів і вважає всі досліджувані нею відносини і форми абсолютно точними і визначеними. Абстрагування від протяжності тіл призводить до понять рлверхні, лінії і точки. Це явно виражене, наприклад, у визначеннях, даних Евклідом: «лінія є довжина без ширини», «поверхня є те, що має довжину і ширину». Точка без жодної протяжності — абстракція, що відображає можливість необмеженого зменшення всіх розмірів тіла, уявна межа його нескінченного розділення. Далі виникає загальне поняття про гнометричну фігуру, під якою розуміють не тільки тіло, поверхню, лінію або точку, а й будь-яку їхню сукупність.
Геометрія в первинному значенні — наука про фігури, взаємне розташування і розміри їхніх частин, а також про перетворення фігур. Це визначення цілком узгоджується з визначенням геометрії як науки про просторові форми і відносини. Дійсно, фігура, як вона розглядається в геометрії, і є просторова форма; тому в геометрії говорять, наприклад,«куля», а не «тіло кулястої форми»; розташування і розміри визначаються просторовими відносинами; нарешті, перетворення, як його розуміють у геометрії, також є певне відношення між двома фігурами — даної і тієї, в яку вона перетвориться.
У сучасному, загальнішому смислі, геометрія обіймає різноманітні математичні теорії, приналежність яких до геометрії визначається не лише схожістю (хоча часом і вельми віддаленою) їхнього предмета зі звичайними просторовими формами і відносинами, але також тим, що вони історично склалися і складаються на основі геометрії в первісному її значенні, і в своїх побудовах виходять з аналізу, узагальнення і видозміни її понять. Геометрія в цьому загальному смислі тісно переплітається з іншими розділами математики та її кордони не є точними.
неділя, 10 грудня 2017 р.
Геометрія у стародавніх людей
Геометрія — слово грецького походження. Воно означає землемірство.
Першими «землемірами» були стародавні єгиптяни. Сільське господарство могло розвиватись лише біля річки Ніл. Щороку Ніл розливався, приносячи на землі які були залиті водою, плодючий мул. Кожен селянин мав наділ землі певної площі, однак розливи ріки не дозволяли раз і назавжди визначити межі кожного наділу, тому після чергового розливу доводилось визначати земельну ділянку заново. Це виконували землеміри — люди, що за допомогою шнура відміряли кожному селянину ділянку з площею, яка була йому приписана. Стародавні єгиптяни не знали циркуля, його винайшли греки. Однак це їм особливо не перешкоджало. Так, прямий кут вони будували мотузкою, що має довжину 12 мір. За допомогою цієї мотузки можна побудувати трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 мір. Такий трикутник за теоремою Піфагора є прямокутним. Тому прямокутний трикутник також називають єгипетським.
Статуя Евкліда
У Стародавній Греції, починаючи з 7 століття до н. е., з часів Фалеса Мілетського, починається новий етап розвитку геометрії. Вона набуває характерного для неї абстрактного напряму, у ній виникає доведення. Грецький мислитель мілетської школи Анаксимандр здійснив першу спробу створення систематичного курсу для викладання геометрії. Перетворення це відбулося шляхом абстрагування від будь-яких властивостей тіл, крім взаємного положення і величини. Наукою геометрія стала, коли від набору рецептів перейшли до встановлення загальних закономірностей. Подальші спроби побудови систематичних курсів математики належать Гіппократу Хіоському, Феодору Кіренському, Архіту Тарентському, Евдоксу Кнідському та багатьом іншим вченим. Вони створили математичну основу для подальшого розвитку науки, теоретичного природознавства і філософії Давньої Греції. Греки склали перші систематичні і доказові праці з геометрії, великий внесок зробили Евклід, Архімед, Аполлоній Перзький.
Центральне місце серед них займають складені близько 300 до н. е. «Начала» Евкліда. Ця праця і понині залишається зразковим викладенням у дусі аксіоматичного методу: всі положення виводяться логічним шляхом з невеликого числа явно зазначених і не доводимих припущень — аксіом. Геометрія греків, звана сьогодні евклідовою, або елементарною, займалася вивченням простих форм: прямих, площин, відрізків, правильних багатокутників і багатогранників, конічних перерізів, а також куль, циліндрів, призм, пірамід і конусів. Обчислюються їхні площі і об'єми. Перетворення в основному обмежувалися геометричною подібністю.
За переказами, біля входу до Академії Платона було написано "Та не ввійде сюди ніхто з тих, хто не знає геометрії". Знайдавніших часів геометрія вважалася однією з важливих компонент будь-якої освіти взагалі. Насамперед що таке геометрія? Кожний з дитинства звикає до цього слова і твердо вірить, що він чудово розуміє його зміст. Проте, як він не намагався б дати означення геометрії, завжди знайдеться немало людей, які скажуть: "Ні, це не те".
То що ж таке геометрія?
Геометрія настільки вже набула характеру первинно поняття, що легше що-небудь інше означити за допомогою геометрії, ніж геометрію за допомогою чогось іншого. Геометрію легше описати, ніж дати їй означення. Інакше кажучи, доцільно дати уявлення про геометрію аксіоматично, як ми даємо уявлення про точку, пряму, площину.
Геометрія - це загальна наука про просторові форми. З просторовими формами людина зустрічалася насамперед при вимірюванні ділянок землі. Геометрія - грецьке слово. Воно означає "землемірство". З іншими просторовими людина зустрілася при спорудженні будинків, виготовленні посуду…
Підписатися на:
Дописи (Atom)